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couverture du livre la Phénoménologie de l'esprit de Hegel

Résumé de la Phénoménologie de l'esprit (page 10)


Il procède en réalité en deux temps.

Il montre tout d’abord que les mathématiques sont soumises, comme la philosophie, à une dialectique. Loin de consister dans l’énoncé d’un résultat nu, le géomètre doit en présenter une démonstration, lier ce résultat aux raisons qui mènent à celui-ci. Il n’y a donc pas de réponse nette1 en mathématique, au sens où l’on donnerait une réponse immédiate à un problème, sans processus dialectique.

En mathématique, la démonstration est un moment essentiel du vrai, même si on n’en a pas toujours conscience : Même dans la connaissance mathématique, le caractère essentiel de la démonstration est encore loin d’avoir pour signification et nature d’être un moment du résultat proprement dit : dans ce résultat, elle est au contraire quelque chose qui est passé et qui a disparu.


Avec la démonstration apparaît la dialectique : celle qui lie un résultat aux raisons qui mènent à celui-ci, mais aussi celle qui unit le sujet (le mathématicien) à l’objet (le théorème) dans le processus de connaissance. En effet, c’est par la démonstration que le géomètre va être convaincu du résultat (le théorème), lui donner son assentiment intérieur :

On ne tiendrait [pas] pour un géomètre celui qui connaîtrait par cœur les théorèmes d’Euclide, c’est-à-dire de l’extérieur, sans connaître leurs démonstrations, sans les avoir assimilés […] de manière intérieure.

Or on va retrouver là les rapports dialectiques qui vont jouer entre le sujet et l’objet, la conscience et son objet. Ainsi, même les vérités nues du genre de celles qui sont citées en exemple ne sont pas exemptes du mouvement de la conscience de soi, ce mouvement dialectique que nous avons décrit plus haut.

C’est la même chose pour les vérités historiques (date de naissance de César) : C’est seulement dans la connaissance de celle-ci conjointement à ses raisons qui sera tenue comme quelque chose qui a une valeur vraie, quand bien même […] seul le résultat nu est censé être ce dont il s’agit.

Concluons : le « résultat nu », la « réponse nette », ne sont, tout comme le savoir immédiat et toute autre figure prétendant échapper à la dialectique, qu’un mythe.


En un second temps, il soutient que la dialectique à l’œuvre dans les mathématiques se caractérise essentiellement par sa pauvreté. De ce fait, cette discipline ne peut prétendre qu’à la saisie d’une vérité inférieure. C’est l’un des premiers stades de la recherche de la vérité, et non son stade ultime, comme on le pense.


Les mathématiques s’appuient sur l’évidence de leurs résultats. Mais cette évidence n’est que le signe de la pauvreté de leur objet :

L’évidence de cette connaissance défectueuse dont les mathématiques sont fières, et qu’elles arborent du reste aussi pour plastronner face à la philosophie, ne repose que sur la pauvreté de leur fin et sur le caractère défectueux de leur matière, et ressortit donc à une espèce que la philosophie ne peut que dédaigner.

C’est le nombre qui est l’objet propre des mathématiques. Il s’agit de mesurer, dénombrer, faire des opérations, réduire des figures à des grandeurs... Or, qu’en penser du point de vue dialectique ?

– La fin qu’elles visent, ou encore leur concept est la grandeur. C’est-à-dire exactement le rapport inessentiel, sans concept. C’est pourquoi le mouvement du savoir se déroule à la surface, ne touche pas la chose même, ne touche pas l’essence ou le concept, et pour cette raison, n’est pas un concevoir.


D’autre part, l’objet propre de la géométrie est l’étude des figures dans l’espace. On pourrait soutenir que l’espace est ce qu’il y a de plus concret. Mais une réflexion rapide suffit pour prendre conscience qu’il s’agit là d’un élément abstrait, ineffectif. Or souvenons-nous que pour Hegel, la vérité réside dans le concret, l’effectif.

- La matière à propos de laquelle les mathématiques avèrent ce réjouissant trésor de vérités est l’espace et l’Un. L’espace est l’existence dans laquelle le concept inscrit ses différences comme en un élément vide et mort, ou elles sont tout aussi bien immobiles et sans vie. L’effectif n’est pas, comme on le considère en mathématiques, une spatialité.

De ce fait, ni la contemplation sensible concrète, ni la philosophie ne peuvent se satisfaire de cette ineffectivité qui est celle des choses des mathématiques.


Cette abstraction vient remettre en cause jusqu’au caractère dialectique des mathématiques, qu'il avait pourtant affirmé dans les paragraphes précédents :

Dans ce genre d’élément ineffectif il n’y a aussi, au demeurant, que du vrai ineffectif, c’est-à-dire que des propositions fixées, mortes ; on peut s’arrêter à chacune d’entre elles ; la suivante recommence pour soi de nouveau sans que la première se soit elle-même transportée jusqu’à la suivante, et sans que de la nature de la chose même soit née ainsi, de cette manière, une connexion nécessaire [pour cette raison] le savoir court le long de la ligne de l’identité. Ce qui est mort en effet, ne se mouvant pas soi-même, ne parvient pas à des différences d’essence, ne parvient pas à l’opposition ou à la non-identité essentielle, ni donc non plus au passage de l’opposé dans l’opposé, au mouvement qualitatif, immanent, au mouvement autonome

Il nous semble que ce qu’il affirme ici, c’est plutôt qu’on trouve dans cette discipline un type de dialectique inférieure, appauvrie, à l’image de son objet, le nombre, et du type de vérité auquel elle accède.


En raison de leur abstraction, les mathématiques ne représentent que l’un des premiers stades du savoir, et non le stade ultime. En réalité, cette discipline ne parvient pas à s’élever à la hauteur du concept, qui est l’objet propre de la philosophie, et qui en dernier ressort détermine les relations mathématiques elles-mêmes :

Car c’est uniquement la grandeur, la différence inessentielle, que les mathématiques considèrent. Elles font abstraction du fait que c’est le concept qui scinde l’espace en ses dimensions et qui détermine les liaisons de celles-ci et au sein de celles-ci.

Tandis que la philosophie […] n’examine pas de détermination inessentielle ; elle examine la détermination dans la mesure où elle est détermination essentielle. Son élément et contenu, ce n’est pas l’abstrait ou l’ineffectif, mais l’effectif, ce qui se pose soi-même et vit en soi-même, l’existence dans son concept.


On comprend alors pourquoi il affirmait que la nature d’une vérité de ce genre est différente de celle des vérités philosophiques. La vérité mathématique ne saurait porter sur le concept, c’est la philosophie qui a ce privilège ; de ce fait, elles ne se contredisent pas, et la mathématique ne saurait constituer en rien une objection ni un modèle pour la philosophie.


1 Les références des citations sont disponibles dans l'ouvrage Hegel : lecture suivie