Les marchés fractals

Christian Walter & Jacques Lévy Vehel

Peut-on utiliser les fractales en économie ? Cet outil mathématique peut-il permettre de prévoir l'évolution du marché ?

Ce livre, préfacé par Benoit Mandelbrot en personne, nous donne des éléments de réponse...

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Les marchés fractals

Cet ouvrage propose de comprendre le fonctionnement réel des marchés financiers à partir de la géométrie fractale de Benoît Mandelbrot (1924-2010) : une géométrie qui permet de modéliser finement l’irrégularité des évolutions et la propriété omniprésente dans le monde selon laquelle très peu possèdent beaucoup et beaucoup possèdent très peu.

Il passe en revue la théorie de l’efficacité informationnelle d’un marché, en montre ses limites et indique une voie de renouvellement de la pensée financière à partir d’une classe particulière de processus fractals, les mouvements alpha-stables de Lévy. Des perspectives plus générales sont ensuite présentées sur l’enjeu que représentent les fractals pour imaginer une finance différente.

Un état des lieux : très peu ont beaucoup

Un marché boursier est dit ‘’fractal’’ si sa structure de risque possède la propriété de concentration suivante : le risque total d’un portefeuille résulte d’un très petit nombre de grandes variations, et non d’un très grand nombre de petites variations.

Cette définition ¹ introduit l’idée intuitive de la notion de fractale et son intérêt pour la description des phénomènes économiques et financiers : très peu (de titres, de variations boursières, d’entreprises etc.) contribuent à beaucoup (de gains, de pertes, de PIB) ou, pour le dire de manière plus compacte, très peu ont beaucoup et beaucoup ont très peu.

Cette propriété selon laquelle très peu contribuent à beaucoup et beaucoup à très peu semble être une caractéristique fondamentale des marchés financiers. On dit que c’est une propriété fractale des marchés, du nom des objets fractals, mot inventé par le mathématicien français Benoît Mandelbrot (1924-2010) à partir du latin fractus qui signifie irrégulier ou brisé.

On peut étendre cette observation à l’économie urbaine et à la géographie physique. Très peu de villes contiennent beaucoup d’habitants et beaucoup de villages contiennent très peu d’habitants. La concentration de la population dans les centres urbains et la désertification des campagnes est une autre illustration de la caractéristique fractale de l’économie.

Dans le cas de la géographie physique, du point de vue de la masse liquide d’eau terrestre, très peu d’océans contiennent beaucoup d’eau (contribuent pour l’essentiel au volume total d’eau sur Terre) et beaucoup de lacs contiennent peu d’eau.

Finalement des domaines aussi variés que l’hydrologie (la prévision des crues), l’assurance (prise en compte des grands sinistres) mais aussi la démographie (l’allongement de la durée de la vie humaine) ou la dynamique des prix (les marchés boursiers) ont trouvé avec la géométrie fractale un outillage technique et mental approprié permettant de qualifier et de penser les situations dans lesquelles très peu ont beaucoup et beaucoup ont très peu.

Cette structure fractale caractérise donc aussi bien la finance que les écosystèmes naturels ou la géographie humaine. On voit comment les fractales apparaissent un outil extrêmement commode pour décrire quantité de phénomènes marqués par une concentration de peu de contributions à l’ensemble du total.

Le marché est très calme sauf quand il bouge beaucoup

Par analogie avec les différentes sortes de climat, un marché fractal est un marché qui s’apparente à un climat tropical, à fortes fluctuations météorologiques (comme les cyclones tropicaux), tandis qu’un marché non fractal sera plus proche d’un climat tempéré, à faibles fluctuations météorologiques (comme les pluies bretonnes).

Du point de vue de la dynamique boursière, les professionnels de la finance aiment bien dire que le marché est très calme, sauf quand il bouge beaucoup, aphorisme selon lequel des variations importantes suivent des périodes de calme plat. On voit que la structure fractale du marché est intuitivement perçue par les professionnels. Ainsi la concentration de la performance des portefeuilles peut s’interpréter comme la trace de la fractalité des marchés.

Une des conséquences de la fractalité d’un marché est la perte de pertinence de la notion de moyenne. La « perte moyenne », le « gain moyen » d’un titre ou d’un portefeuille ne signifient rien si le gain ou la perte proviennent d’un tout petit nombre de titres du portefeuille ou de journée de bourse. Pour gérer efficacement un portefeuille à long terme, il s’agira donc moins de diversifier, comme le veut la pensée unique classique en finance, que de concentrer ses fonds sur un petit nombre de lignes, ce que préconisait déjà Keynes en 1942.

Fractales et valeurs extrêmes des phénomènes naturels ou sociaux

Les fractales sont étroitement liées à la prise en compte des valeurs extrêmes des phénomènes. Or les valeurs extrêmes deviennent de plus en plus importantes dans les enjeux environnementaux et climatiques.

Par exemple, dans son discours introductif à la Conférence internationale des superviseurs sur le risque climatique (Amsterdam, 6/04/2018), le gouverneur de la Banque de France François Villeroy de Galhau avait aimé rappeler que, dans la mesure où une augmentation du niveau des océans aurait pour effet de submerger les deux tiers du territoire des Pays-Bas, ce [n’était] pas un hasard si les mathématiciens de ce pays, comme le professeur Laurens de Haan, [avaient] apporté des contributions décisives pour déterminer la hauteur de sécurité des digues littorales et avait mentionné, dans cette perspective, la théorie dite « des valeurs extrêmes ».

La théorie des valeurs extrêmes s'intéresse aux valeurs les plus grandes des distributions de probabilité et apporte un ensemble de résultats fondamentaux pour l’estimation des risques de survenance d’événements rares mais de grands impacts (tremblements de terre, inondations, tsunamis, mais aussi krachs boursiers), en donnant la forme des queues de distribution pour ces événements.

Les théorèmes de Fisher-Tippett (1928) et de Jenkinson - von Mises (1954) donnent les formes générales des lois des valeurs extrêmes qui permettent de disposer d’instruments puissants et fiables pour combattre l’ennemi juré avec des mathématiques pour reprendre le titre de l’article écrit par Jan de Haan dans la revue Statistica Neerlandica en 1990.

Le 1er janvier 1953, un raz-de-marée en Mer du Nord avait causé un rehaussement du niveau de la mer provoquant la mort de 1800 personnes et inondant 160 000 hectares de terre. La théorie des valeurs extrêmes fut mobilisée pour quantifier les surcotes des eaux (différence entre la hauteur prévue des marées et la hauteur observée) et définir le réseau de digues renforcées qui fut construit ensuite.

La théorie des valeurs extrêmes est ainsi un instrument d’évaluation parfaitement adapté à l’environnement naturel, sujet à des phénomènes récurrents dans lesquels très peu font beaucoup et beaucoup font très peu. C’est un instrument d’évaluation (une « métrique ») qu’on qualifiera de « vert » dans ce sens. Dans la mesure où l’environnement physique naturel est fractal, les fractales apparaissent donc comme la manière la plus « naturelle » de construire une finance verte ou durable. Ainsi, l’ouvrage Les marchés fractals présentait en 2002 des façons nouvelles de modéliser la finance, bien avant que les enjeux de durabilité n’apparaissent comme aujourd’hui cruciaux.

Fractales et finance durable

Les instruments actuels de la finance verte sont-ils « verts » dans le sens de « fractals » ? Non. Comme le montre l’ouvrage, la finance néoclassique a imaginé dans les années 1950, à la suite des Principes d’économie politique d’Alfred Marshall (1890), des instruments d’évaluation qui sont conçus sur un rejet de la fractalité avec une représentation idéologique appelée « théorie de l’efficacité informationnelle d’un marché ».

Les techniques de la finance néoclassique (les prix Nobel Markowitz, Sharpe, Merton, Fama) reposaient sur une représentation de la nature radicalement non fractale. Dans des travaux ultérieurs, nous avons montré que cette représentation non fractale a encouragé l’hubris de la finance et a conduit aux crises financières et en particulier à celle de 2008.

Les tentatives pour faire entrer les fractales et la théorie des valeurs extrêmes dans les instruments d’évaluation de la finance néoclassique se sont avérées vaines pendant une cinquantaine d’années, à cause de la résistance des mathématiques financières irriguées à l’école américaine du risque en finance ².

Aussi, aujourd’hui, pour que la finance soit verte ou « durable », il s’agit, selon le titre d’un ouvrage récent, de désintoxiquer la finance ³ des errements de la théorie financière néoclassique et pour cela de changer les instruments d’évaluation. En un mot, de changer de paradigme. Ce à quoi appelait le livre de 2002.

¹ Les marchés fractals, p.33
² Par exemple : https://www.liberation.fr/futurs/2012/05/21/le-pouvoir-demiurgique-des-mathematiques-financieres_820296
³ Jean-Baptiste Bellon et Stéphane Voisin, Detox finance. Utile, positive, verte, durable : l'avenir de la finance, Eyrolles, 2019.